articlewriting1

Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian cực hay – Toán lớp 12

Học tập

Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Tích vô hướng của hai vecto :

    a→.b→=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3

+ a→b→⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0

+ a→2=a12+a22+a32

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(1;2;1),

b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)

b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→

c) Tính các góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→– 2c→ )

d) Tìm m để u→⊥(b→+d→)

e) Tìm m để (u→,a→ )=600

Quảng cáo

Hướng dẫn:

a) a→
=(1;2;1),b→
=(3;-1;2)

a→
.b→
=1.3+2.(-1)+1.2=3.

c→
=(4; -1; -3)⇒2c→
=(8; -2; -6)⇒ a→
-2c→
=(-7;4;7)

b→
(a→
-2c→
)=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b→
.c→
=3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→
.(b→
.c→
)=(7;14;7)

a→
.b→
=3⇒(a→
.b→
) c→
=(12; -3; -9)

Vậy a→
.(b→
.c→
)≠(a→
.b→
) c→

c ) Ta có :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒(a→.b→ )≈710

+ a→+ b→=(4;1;3),3a→– 2c→=(-5;8;9)

⇒cos( a→+b→,3a→– 2c→ )

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒( a→
+b→
,3a→
– 2c→
)≈770

d) b→
+d→
=(6; -4; -3); u→
=(1;m;2)

u ⃗⊥(b→
+d ⃗ )⇔u→
.(b→
+d→
)=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e )

(u→
,a→
)=600⇔cos⁡(u→
,a→
)=1/2

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a→,b→ sao cho (a→,b→ )=1200,

|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: a→
.b→
=|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
,b→
)

Ta có: |a→
+ b→
|2=(a→
+ b→
)2=a→
2+2a→
.b→
+b→
2

=|a→
|2+|b→
|2+2|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
,b→
)=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a→
+ b→
|=√7

Tương tự :

|a→
-2b→
|2 =|a→
|2+4|b→
|2-4|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
,b→
)=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a→
-2b→
|=2√(13)

Quảng cáo

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a ) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
b ) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A
c ) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)

AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0

AB→BC→⇒ΔABC vuông tại B.

b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB→.AD→=0

⇔ 1. ( – 4 ) + 6. ( 2 m + 2 ) + 1. ( – 4 ) = 0
⇔ 12 m + 4 = 0 ⇔ m = ( – 1 ) / 3

c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB→;AC→ )

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ Â ≈ 400

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u→(u1;u2;u3) và v→(v1;v2;v3), u→. v→=0 khi và chỉ khi:

   A. u1v1+u2v2+u3v3=0

   B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0

   C. u1v1+u2v2+u3v3=1

   D. u1v2+u2v3+u3v1=-1

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ a→b→ tạo với nhau góc 600 và |a→| =2; |b→| =4. Khi đó |a→ + b→ | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

|a→
+ b→
|2=(a→
+ b→
)2=|a→
|2+|b→
|2+2|a→
|.|b→
|.cos⁡(a→
+ b→
)

= 4 + 16 + 2.2.4. 1/2 = 28

⇒|a→
+ b→
|=2√7

Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với giá trị nào của m để a→ vuông góc với b→ ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

a→ vuông góc với b→ khi và chỉ khi a→. b→=0

⇔ – 2.1 + 1.2 + 3. m = 0 ⇔ m = 0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

cos⁡(a→, b→)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 300    B. 900

   C. 600   D. 450

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-3;0; -4); AC→=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB→ ; AC→)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

BACˆ=900

Bài 6: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi đó số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

   A. 300    B. 450

   C. 600   D. 900

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→
=(-1;1;0); CD→
=(-2;1; -2)

Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là α

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ α = 450

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vecto a→; b→. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

   A. a→
.|b→
|=|a→
|.b→
với mọi a→
; b→

   B. ( a→
b→
)2=a→
2. b→
2 với mọi a→
; b→

   C. |a→
. b→
| ≤|a→
|.|b→
| với mọi a→
; b→

   D. a→
. b→
=0 khi và chỉ khi a→
= 0→
hoặc b→
= 0→

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

VD: a→
=(2; -3;1), b→
=(1;1;1)

⇒|a→
|=√14; |b→
|=√3

a) a→
. |b→
|=(2√3; -3√3;√3)

|a→
|. b→
=(√14; √14; √14)

a→
. |b→
|≠| a→
|. b→

b) a→
b→
=2.1-3.1+1.1=0

a→
2. b→
2=14.3=52

⇒( a→
b→
)2≠ a→
2. b→
2

d) a→
b→
=0 nhưng a→
0→
hoặc b→
0→

Vậy a, b, d sai, c đúng .

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho a→(-1;2;-3), b→(3;3;4), c→(5;0-1). Giá trị của a→ (b→ + c→ ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

b→
+ c→
=(8;3;3)

a→
(b→
+ c→
)=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB→. AC→ bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→ =(-4;1; -3); AC→=(3; -1;2)

AB→. AC→ =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a→ vuông góc với b→ là gì ?

   A. a→. b→ =0   B. [ a→, b→] = 0→

   C. a→ + b→ = 0→   D. a→b→ = 0→

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Bài 11: Cho hai vecto a→; b→thay đổi nhưng luôn thỏa mãn |a→|=5; |b→ |=3. Giá trị lớn nhất của |a→ -2 b→ | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: |a→
– 2 b→
|2 = ( a→
– 2 b→
)2 = | a→
|2 + 4| b→
|2 – 4| a→
|.| b→
|.cos⁡( a→
; b→
)

| a→
-2 b→
| lớn nhất ⇔ | a→
– 2 b→
|2 lớn nhất ⇔cos⁡( a→
; b→
)=0

Khi đó: | a→
– 2 b→
|2=| a→
|2+4| b→
|2=25+4.9=61

⇒|a→
– 2 b→
|=√61

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a→(-1;1;0), b→(1;1;0), c→(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. | a→|= √2    B. c→b→

   C. a→b→   D. | c→ |=√3

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có: c→. b→=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c→ ; b→ không vuông góc với nhau

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB→=(-3;0;4), AC→=(5;-2;4). Độ dài trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB=|AB→
|=5; AC=|AC→
|=√45

cos⁡BACˆ
=cos⁡(AB→
; AC→
)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có: BC2=AB2+AC2 – 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ AM = 3 √ 2

Bài 14: Cho | a→ |=2; | b→ |=5, góc giữa hai vectơ a→b→ bằng (2π)/3, u→ = k a→b→; v→ = a→ + 2 b→. Để u→ vuông góc với v→ thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

u→ = k a→b→; v→ = a→ + 2 b→

u→
. v→
=(k a→
b→
)(a→
+2 b→
)=k a→
2-2 b→
2+(2k-1) a→
. b→

Ta có: a→
. b→
=| a→
|.| b→
|.cos⁡( a→
; b→
)=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

u→
. v→
=4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: u→
v→
vuông góc với nhau ⇒ u→
. v→
=0

⇒ – 6 k – 45 = 0 ⇔ k = ( – 45 ) / 6

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=(x;2;1), b→ =(2;1;2), Tìm x biết cos( a→, b→ )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A→ (-2;2;-1), B→ (-2;3;0), C→ (x;3;-1). Giá trị của x để tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải   D. x=1

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→ =(0;1;1); AC→ =(x+2;1;0); BC→ =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=600

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ ( x + 2 ) 2 + 1 = 2 ⇔ ( x + 2 ) 2 = 1

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 17: Cho hai vecto a→; b→ tạo với nhau một góc 600. Biết độ dài của hai vecto đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vecto hiệu a→b→ là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có: | a→
b→
|2=( a→
b→
)2=| a→
|2+| b→
|2-2| a→
|.| b→
|.cos⁡( a→
; b→
)

= 25 + 100-2.5.10.cos ⁡ 600 = 75

⇒|a→
b→
|=√75

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB→
; BC→
).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→
=(1; -1;0); BC→
=(8; -5;3)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 450   B. 600

   C. 300   D. 1200

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(-3; 0;-4); BC→=(7; 0;1)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒(AB→ ; BC→ )=1350

=450

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2=4; m2+n2+p2=9. Vecto AB→ có độ dài nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có : OA = 2 ; OB = 3
AB ≤ | OA-OB | = 1

Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB.

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Source: https://skinfresh.vn
Category: Học tập